平面度在線測量的數(shù)學(xué)模型與誤差分離方法
對(duì)于平面度在線測量，可以采用四測頭電容式組合傳感器裝置安裝在加工機(jī)床的z軸上，按一定的測量走點(diǎn)路徑對(duì)工件表面進(jìn)行測量，測量結(jié)果中迭加了兩項(xiàng)誤差：基準(zhǔn)誤差（即導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)副誤差）和工件表面誤差。因此，要測量工件平面度，必須采用誤差分離技術(shù)。
對(duì)平面度在線測量可以采用三或四傳感器進(jìn)行。其中三傳感器布置方式如圖1所示。傳感器邊距為L，這樣以 L長為間隔可將被測平面分為M行N列網(wǎng)格，處于網(wǎng)格上的點(diǎn)即為被測量點(diǎn)，三傳感器分別標(biāo)記為（k，l）（k，l＝1，2），對(duì)應(yīng)第i行j列上的測量點(diǎn)標(biāo)記為（i，j）。以傳感器（l，l）的零點(diǎn)作為基準(zhǔn)點(diǎn)。則傳感器（1，2）、（2，1）的初始位置偏差分別記為）Δ12、Δ21。 圖2所示為測量路線圖（這里以4行4列測點(diǎn)為例），網(wǎng)格上的點(diǎn)為測量點(diǎn)，實(shí)心小圓圈表示測頭，i、j表示測量的當(dāng)前行和列。 圖3所示為傳感器采集數(shù)據(jù)示意圖。這里假設(shè)測頭裝置為一剛體，導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)副作無偏擺的平動(dòng)。 由圖3給出的當(dāng)前測量i行j列時(shí)的采集數(shù)據(jù)示意圖可以得到傳感器采樣表達(dá)式，記傳感器（k，l）（k，l＝1，2）在該位置時(shí)的采樣值為 zijkl，則： 2 測量誤差源分析及實(shí)用誤差分離方法的討論
對(duì)于平面度形狀誤差的誤差分離方法，可以采用遞推逐次兩點(diǎn)（TSTP）法和zui小二乘逐次兩點(diǎn)（LSSTP）法。對(duì)于大型精密、超精密平面度在線測量，則應(yīng)采用混合逐次兩點(diǎn)（HSTP）法，對(duì)于精密小平面工件，采用二維zui小二乘插值逐次兩點(diǎn)（LSISTP）法進(jìn)行誤差分離，
2．1測量誤差源分析
逐次兩點(diǎn)誤差分離方法是以采樣公式（1）為分析處理基礎(chǔ)的，但在實(shí)際系統(tǒng)中，由于各種因素的影響，采樣獲得的傳感器信息中不僅包含運(yùn)動(dòng)副誤差和測量平面形狀誤差，而且還帶有各種噪聲信號(hào)。理論分析和實(shí)驗(yàn)研究情況表明，影響采樣數(shù)據(jù)的誤差源很多，如漂移誤差、隨機(jī)噪聲誤差、采樣量化誤差、擺角誤差、各種低頻振動(dòng)、導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)不平穩(wěn)等。對(duì)于大型 CNC超精密平面磨床而言，影響在線測量系統(tǒng)精度的因素主要有以下，幾項(xiàng)：漂移誤差、隨機(jī)噪聲誤差、傳感器電源及導(dǎo)軌氣源波動(dòng)、機(jī)床振動(dòng)。
由于環(huán)境條件等的緩慢變化引起傳感器中頻漂移，尤其對(duì)于大工件測量時(shí)所需時(shí)間較長，漂移誤差的影響更大。但理論研究及分析表明：若傳感器漂移曲線相同，則漂移誤差影響可以通過分離處理消除，這樣在設(shè)計(jì)制作傳感器時(shí)盡量保證傳感器的特性相近，則環(huán)境變化對(duì)傳感器的影響基本相同，漂移誤差的影響得到抑制。
在線測量的環(huán)境不能算太好，采樣測量中不可避免存在各種各樣的干擾，‘如振動(dòng)、電磁干擾、導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的不平穩(wěn)、傳感器電路不穩(wěn)定等等，都會(huì)使得采樣值中存在隨機(jī)噪聲誤差。通過幾種算法處理過程可以發(fā)現(xiàn)：采用zui小二乘處理進(jìn)行誤差分離的辦法可以減少隨機(jī)噪聲的影響。
傳感器電源紋波、導(dǎo)軌氣源波動(dòng)和機(jī)床振動(dòng)都會(huì)對(duì)傳感器采樣值產(chǎn)生影響，因此需要分別采取措施減少影響。另一方面，由于其作用對(duì)幾個(gè)傳感器是相同的，因此誤差分離處理時(shí)，它們只影響導(dǎo)軌分離精度，而對(duì)工件表面分離結(jié)果沒有影響。
2.2 實(shí)用誤差分離方法的討論
對(duì)于平面度形狀誤差在線測量，可以采用TSTP法、LSSTP法、HSTP法、ILSSTP法等。其中TSTP法具有處理過程簡單、速度快的特點(diǎn)，但該方法的分離結(jié)果容易積累測量噪聲誤差，特別是大型工件在線測量的場合，分離精度較低：LSSTP法則可以抑制隨機(jī)噪聲的影響，得到更高精度的測量結(jié)果，該方法將多項(xiàng)誤差通過一次處理得到，這樣可能因?yàn)檎`差均化而導(dǎo)致分離結(jié)果不準(zhǔn)確。對(duì)于大型平面測量，由于處理矩陣太大而使得算法實(shí)現(xiàn)非常困難且可能導(dǎo)致浮點(diǎn)運(yùn)算誤差。HSTP法實(shí)現(xiàn)了單項(xiàng)誤差分離處理，它以TSTP方法得到的結(jié)果作為初始值通過共軛梯度法迭代逼近可以實(shí)現(xiàn)大型平面快速的誤差分離。該方法避免了LSSTP方法可能產(chǎn)生的誤差均化及浮點(diǎn)運(yùn)算誤差p大型超精密平面度測量采用該方法zui為合適。這三種方法的測量間隔等于測頭間距而不能變更，這樣對(duì)于中小型平面測量會(huì)導(dǎo)致測量結(jié)果不夠。ILSSTP法可以實(shí)現(xiàn)以小于測頭間距的間隔進(jìn)行測量并抑制隨機(jī)噪聲的影響，當(dāng)測量點(diǎn)較多時(shí)也可以采用共軛梯度迭代逼近的辦法得到的分離結(jié)果。作為ILSSTP法的特例，對(duì)于直線度在線測量同樣可以通過zui小二乘處理得到高精度分離結(jié)果。
3 平面度評(píng)價(jià)方法
目前對(duì)平面度的評(píng)估主要有四種方法：方格法、對(duì)角線法、zui小二乘法和zui小包容區(qū)域法。前兩種方法處理比較簡單，在工程現(xiàn)場上應(yīng)用較多，但其結(jié)果存在偏差。zui小二乘法也是一種簡單快捷的近似評(píng)估方法，易于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，其評(píng)估結(jié)果誤差相對(duì)較小。zui小區(qū)域法符合國標(biāo)規(guī)定的zui小條件原則，其評(píng)估結(jié)果*且比前幾種方法都，故而zui受重視，其實(shí)現(xiàn)相對(duì)較為復(fù)雜，很多學(xué)者采用了各種不同算法來實(shí)現(xiàn)該方法。在進(jìn)行zui小區(qū)域法實(shí)現(xiàn)時(shí)，各種文獻(xiàn)提供了數(shù)十種求解算法，常用的有基面旋轉(zhuǎn)法、坐標(biāo)變換法、優(yōu)化法、特征點(diǎn)法和作圖法等，這些算法都有各自的優(yōu)點(diǎn)。但對(duì)于大型超精平面測量處理而言，數(shù)據(jù)點(diǎn)太多。對(duì)如此多的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行反復(fù)處理，前面提供的算法效率都太低，處理時(shí)間太長。針對(duì)這種情況，我們提出了一種對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理的計(jì)算機(jī)算法，大大提高了處理效率。
算法的主要思路是通過優(yōu)化搜索序列、通過置換法尋找特征點(diǎn)、用判別準(zhǔn)則進(jìn)行驗(yàn)證、再循環(huán)搜索、直到得到滿足條件的特征點(diǎn)為止。為提高搜索速度，綜合幾種方法的優(yōu)點(diǎn)，采取了zui小二乘預(yù)處理、分組設(shè)定優(yōu)先順序、選定搜索方向等多條優(yōu)化措施。
4 補(bǔ)償加工方法
補(bǔ)償加工是利用計(jì)算機(jī)控制刀具（砂輪）運(yùn)動(dòng)來補(bǔ)償由于機(jī)床導(dǎo)軌及加工變形等造成的工件直線度、平面度誤差。
4．1 誤差補(bǔ)償曲線（曲面）
對(duì)工件實(shí)時(shí)測量與補(bǔ)償是非常困難的，因此補(bǔ)償加工采用誤差記憶控制方式，誤差曲線（面）來自上次加工后的工件表面測量結(jié)果。如圖4所示，設(shè) y（x）為通過多傳感器在線測量并經(jīng)過插值誤差分離處理獲得的工件直線度誤差曲線（如果僅對(duì)機(jī)床導(dǎo)軌形狀誤差進(jìn)行補(bǔ)償，則 y（x）為導(dǎo)軌副誤差曲線）， f（x）為要求磨削達(dá)到的導(dǎo)軌形狀曲線（在對(duì)精密機(jī)床、測量機(jī)導(dǎo)軌進(jìn)行磨削加工時(shí)，為了磨削出高精度導(dǎo)軌，并實(shí)現(xiàn)要求的凹凸形狀控制，當(dāng)要求磨削工件形狀為直線時(shí)，f（x）＝0），Y（x）為要求控制砂輪進(jìn)給的位移量，則可以通過下式求得 Y（x）。
Y（x）＝ So- k×[ f（x）- y（x）]
這里：So為磨削進(jìn)刀深度，k為砂輪進(jìn)給系統(tǒng)剛度、機(jī)床運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)剛度及工件剛度等影響的修正系數(shù)，該系數(shù)需要通過相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究得到。 平面誤差補(bǔ)償加工比導(dǎo)軌誤差補(bǔ)償加工相對(duì)要復(fù)雜一些，生成平面度誤差補(bǔ)償曲面的方法與生成直線度誤差補(bǔ)償曲線的方法相類似。磨削平面時(shí)，砂輪磨頭要沿工作臺(tái)作反復(fù)循環(huán)運(yùn)動(dòng)，這樣在兩種不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，對(duì) k系數(shù)及誤差補(bǔ)償曲面是否需要調(diào)整及調(diào)整方法需要通過實(shí)驗(yàn)研究確定。
4.2 大行程進(jìn)給的實(shí)現(xiàn)
Z軸的位置控制策略因采用的微進(jìn)給方式不同而不同，若微進(jìn)給方式為壓電伸縮氣壓調(diào)節(jié)式，則由于粗動(dòng)控制是通過Z軸電機(jī)驅(qū)動(dòng)精密絲杠完成的，這樣在粗動(dòng)和微動(dòng)切換控制時(shí)，由粗動(dòng)控制向微動(dòng)方式切換時(shí)，粗動(dòng)方式的停止特性則可能成為問題，此時(shí)需要通過實(shí)驗(yàn)研究平滑穩(wěn)定的控制方式切換的實(shí)現(xiàn)方法。若微進(jìn)給通過靜壓諧波傳動(dòng)實(shí)現(xiàn)，上述問題就不存在了，但為了實(shí)現(xiàn)高分辨率高精度進(jìn)給，則需要對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)的爬行特性和其它非線性特性加以注意并采取措施。
4.3 微量進(jìn)給系統(tǒng)特性分析及補(bǔ)償加工方法研究
由于實(shí)現(xiàn)微量進(jìn)給的電致伸縮元件、氣體減壓閥、氣體軸承多個(gè)環(huán)節(jié)的非線性和不確定性會(huì)給傳統(tǒng)控制方法獲得的控制結(jié)果帶來誤差。針對(duì)這一問題分為兩部分進(jìn)行研究:
（1）微量進(jìn)給控制系統(tǒng)的建立及動(dòng)態(tài)特性分析；
（2）實(shí)際補(bǔ)償控制方法研究。
4．3．1微量進(jìn)結(jié)系統(tǒng)的建立及動(dòng)態(tài)持性分析
由于補(bǔ)償加工時(shí)，砂輪作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)以及其它各種干擾因素的影響，對(duì)砂輪位移量直接測量非常困難，傳感器的長期穩(wěn)定性和和精度也不易保證。因此在建立控制系統(tǒng)時(shí)，采用易于安裝且精度與穩(wěn)定性好的氣體壓力傳感器（測量精度＜0．1％，年漂移＜0．2％）檢測氣'體軸承進(jìn)氣調(diào)節(jié)壓力變化進(jìn)行半閉環(huán)控制，這樣一方面可以避免壓電晶體磁滯效應(yīng)的影響，另一方面采用合適控制策略通過'半閉環(huán)控制可以提高系統(tǒng)響應(yīng)速度。
在進(jìn)行系統(tǒng)特性實(shí)驗(yàn)前，首先對(duì)其物理模型進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上對(duì)各環(huán)節(jié)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，再對(duì)模型及參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以使跟蹤控制誤差達(dá)到zui小。主要完成的工作為：
a）測定靜態(tài)電壓位移曲線、氣壓位移曲線；
b）選擇線性段區(qū)域測定系統(tǒng)增益系數(shù)；
c）理論分析各環(huán)節(jié)物理模型：
d）采用隨機(jī)噪聲序列或階躍響應(yīng)曲線建模并辨識(shí)模型參數(shù)。
實(shí)驗(yàn)表明，供氣壓力—砂輪位移關(guān)系可近似表示為一帶純滯后的二階欠阻尼系統(tǒng)，電壓—氣壓關(guān)系則由于氣體減壓閥進(jìn)氣孔與泄氣孔不同而特性不同，采用階躍法獲得進(jìn)氣和泄氣過程響應(yīng)曲線，再對(duì)其分別建模辨識(shí)。
其關(guān)系都可以表示為模型參數(shù)不同的純滯后一階慣性系統(tǒng)。
由于系統(tǒng)環(huán)節(jié)過程較多，造成系統(tǒng)模型經(jīng)過一段時(shí)間會(huì)產(chǎn)生一定漂移，這樣會(huì)影響控制質(zhì)量。為克服這一問題，在實(shí)際補(bǔ)償加工控制系統(tǒng)中設(shè)置兩種模態(tài)：測試模態(tài)和控制調(diào)節(jié)模態(tài)。開始補(bǔ)償加工前系統(tǒng)處于測試模態(tài)下，施加階躍響應(yīng)信號(hào)測試系統(tǒng)模型和模型參數(shù)。然后進(jìn)入控制調(diào)節(jié)模態(tài)，由測試模態(tài)得到的系統(tǒng)模型修改控制器參數(shù)，然后由此控制器對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行控制。由于系統(tǒng)的非線性特性，線性模型是一種近似模型，采用非線性建模方法可望得到更態(tài)模型。
4．3．2實(shí)際補(bǔ)償控制方法研究
應(yīng)用于大型超精密平面磨床的實(shí)際補(bǔ)償控制方法主要有以下幾點(diǎn)要求：可靠穩(wěn)定、快速、系統(tǒng)的魯棒性強(qiáng)。
為了提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，可以采用“前饋+PID”的控制方法，圖5給出的是該方法的控制系統(tǒng)框圖，圖中 F（s）前饋控制環(huán)節(jié)， G1（s）為 PID控制環(huán)節(jié)。考慮進(jìn)氣與泄氣時(shí) G2（s）具有不同的傳遞函數(shù)，相應(yīng)地，其前饋控制環(huán)節(jié)和 PID控制環(huán)節(jié)也不同。 理想情況下希望 Xo（s）=Xi（s），即系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)*跟蹤，但為滿足*跟蹤，則要求系統(tǒng)模型己知且確定不變，這一點(diǎn)復(fù)雜控制系統(tǒng)不易滿足。考察“電壓一氣壓”模型和“氣壓一位移”模型可知，影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度的主要環(huán)節(jié)為中間環(huán)節(jié) G2（s），因此對(duì)“電壓一氣壓”部分進(jìn)行半閉環(huán)前饋控制就可以大大提高系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度。
閉環(huán)系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)為： 為了實(shí)現(xiàn)方便，采用速度前饋控制器（F（s）= as）實(shí)現(xiàn)前饋控制。施加階躍電壓信號(hào)大小為140V一220V，采用“前饋+PID”控制方法后系統(tǒng)階躍響應(yīng)上升時(shí)間減少為 O．25秒，下降時(shí)間減少為 O．5秒以內(nèi)。實(shí)驗(yàn)表明，在1HZ頻域范圍內(nèi)系統(tǒng)幅頻特性良好，考慮超精密平面磨床導(dǎo)軌誤差較?。▽?shí)際測量為 lμm／1000mm左右）且平滑緩慢變化，以上的幅頻特性*可以滿足實(shí)際需要。 用線性模型對(duì)驅(qū)動(dòng)電源及壓電晶體模型進(jìn)行辨識(shí)，結(jié)果表明其動(dòng)態(tài)特性表現(xiàn)為一帶延時(shí)效應(yīng)的一階慣性環(huán)節(jié)：
一般認(rèn)為靜承為一高階模型，其模型結(jié)構(gòu)可參考有關(guān)文獻(xiàn)，從目前掌握的資料來看，對(duì)于這種調(diào)節(jié)供氣壓力式的空氣靜承，其動(dòng)態(tài)模型尚未進(jìn)行研究。由于氣體壓力數(shù)字調(diào)節(jié)不易實(shí)現(xiàn)，對(duì)其模型直接進(jìn)行辨識(shí)存在一定困難。實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，將整個(gè)系統(tǒng)連接起來，通過驅(qū)動(dòng)壓電晶體調(diào)節(jié)進(jìn)氣腔氣體壓力，就得到整個(gè)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線。 |
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